對淹沒在噪聲中的正弦波信號進行頻率估計是信號處理的經典課題，在通信、雷達、電子偵察及振動信號處理等領域有重要的應用。在加性高斯白噪聲信道中，頻率估計算法大致可分為最大似然估計算法、最大后驗概率（MAP）估計算法和自相關估計算法。RIFE D和 BOORSTYN R通過分析Cramer-Rao下界，提出了工程可實現的ML算法[1]，利用快速傅里葉變換(FFT)進行粗搜索再進行精確搜索。為了充分利用頻率分布的先驗知識，Hua Fu和KAM P Y提出了MAP充分估計算法[2]。以上兩種算法都具有較高的復雜度，而自相關估計算法實現復雜度低,參考文獻[3]給出了自相關估計算法的具體細節。現有的精確估計算法實現的結構多采用FFT粗搜索，再進行精確估計。本文在分析了現有的幾種精確估計后，結合實際硬件設計，提出了直接利用幅度平方信息做精確估計的算法，有效地簡化了現有算法的運算量。通過仿真驗證了其在低信噪比下也具有一定的估計精度。

1 頻率精確估計的幾種算法
    Voglewede方法[4]利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個頻點的幅值，擬合出一條二次曲線逼近原插值函數，通過求二次函數即拋物線的最大值求解精確頻率。在有噪聲的情況下，估計精度不高。Quinn方法[5]利用FFT輸出的次大頻點和最大頻點復數值之比插值得出精確頻率值。Jacobsen方法[6]利用三個頻點復輸出的實部實現頻偏估計。參考文獻[7]通過對FFT的輸出表達式做泰勒級數展開，給出了Jacobsen方法的理論依據，并對原方法進行了誤差校正。改進后的Jacobsen方法修正了原方法的系數。Jacobsen對原方法也進行了進一步的研究，通過仿真分析了不同窗函數下的Jacobsen方法的性能，歸納了各種窗函數下對估計算法的系數修正。
2 算法的構造
    利用FFT粗估計時，為最大程度地簡化設計，通過搜索FFT幅度平方的最大值確定峰值頻點。Voglewede方法利用幅度的二次曲線擬合，引入開方運算，該方法在低信噪比下的表現不佳。Jacobsen方法和Quinn方法需要FFT輸出復數的實部，從而在確定最大頻點和其相鄰頻點的位置前需要存儲所有FFT復數的輸出。眾所周知，復數的加法和減法運算量是實數的兩倍，乘法和除法更甚。Jacobsen方法和Quinn方法都含有復數的數學運算，增加了硬件的復雜性。為了簡化硬件，本文考慮設計一種精確估計結構直接利用幅度平方估計頻偏小數部分的算法。

3.1 不加窗函數的估計性能
    仿真設計的FFT截斷長度N為1 024，信噪比的范圍是-12 dB~14 dB，步進為2 dB。對?啄從0~0.5選取4個點作為測試頻偏，分別是0.1、0.2、0.3和0.4。仿真結果如圖1所示。
    由仿真結果可知，高信噪比下，本文的兩種方法均優于Voglewede方法。低信噪比下，次優精確估計算法優于Voglewede方法。
3.2 增加窗函數時的估計性能
    本組仿真采用Hanning、Hamming和Blackman三種窗函數和不加窗的次優算法進行比較，仿真結果如圖2所示。

    由仿真結果可以看出，Hamming窗和Hanning窗估計精度均不高。而Blackman窗可達到最佳的性能，在低信噪比下，有效地降低了次優算法的均方誤差，在高信噪比下,保持次優算法良好的估計精度。其估計性能接近CRB。
3.3 實現資源占用對比
    正如在第2節中的討論,最大頻點的選擇需要對FFT實部和虛部進行平方相加的運算。如果精確估計算法利用幅度信息（如Voglewede方法），則在確定最大值后需要開方得到幅度信息。如果精確估計算法利用FFT的實部信息(如Jacobsen方法),則在確定最大值前需對各頻點的實部存儲。表1給出了Jacobsen方法、Voglewede方法和本文兩種方法的資源占用情況。本文提出的次優算法直接利用FFT幅度的平方信息,也簡化了算法的實現。

    本文提出的次優估計算法，是一種基于FFT輸出幅度平方的信息通過曲線擬合估計精確頻偏的算法。從算法原理和仿真驗證兩方面說明了本算法的可行性。原理上，算法根據FFT幅度平方輸出的函數，推導出最優的估計表達式，算法簡化后得到一種僅需要兩個頻點的估計算法，并優化算法系數。通過仿真說明了算法在不同信噪比下的估計精度，加入Blackman窗后有效改善算法抗噪性能，使其在高信噪比和低信噪比下都有較高的精度。算法設計上，由于采用FFT輸出幅度的平方，兩個頻點輸出值參與運算，硬件實現簡單，可在各類適合的頻率估計領域應用。
參考文獻
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