編者按：網絡空間安全的本質就是攻防對抗。“安全對抗”又分為兩大類：盲對抗和非盲對抗。在本系列之二《安全通論》（2）--攻防篇之盲對抗中，對 “盲對抗”已經有所介紹，并給出了黑客（紅客）攻擊（防守）能力的精確極限，針對“非盲對抗”，文章繼續引用經典游戲來進行分析。在該文中，酒友們在宴會上常玩的“猜拳”和“劃拳”等勸酒令，也成了《安全通論》的研究內容，仍然采用統一的“信道容量方法”，給出了“贏酒杯數”和“罰酒杯數”的理論極限，還給出了醉鬼獲勝的調整技巧。當然，這些內容也是《安全通論》不可或缺的組成部分。文章還針對所有“輸贏規則線性可分”的“非盲對抗”，給出了統一的解決方案。為與本刊風格一致，我們對文字略作了一些微調。
教授，博士生導師，災備技術國家工程實驗室主任，北京郵電大學信息安全中心主任，教育部網絡攻防重點實驗室主任，《微型機與應用》編委，主要研究方向：網絡空間安全、現代密碼學和糾錯編碼等。
鈕心忻
博士，教授，博士生導師。北京郵電大學學士和碩士學位，香港中文大學電子工程系博士學位。1997年起在北京郵電大學信息工程學院（現計算機學院）從事教學與科研工作。主要研究方向：網絡與信息安全、信號與信息處理等。
0引言
以網絡空間安全、經濟安全、領土安全等為代表的所有安全問題的核心就是“對抗”！所以，無論花多少篇幅，都必須把它研究透徹，至少是要盡可能透徹。哪怕是多次變換角度，甚至利用古老游戲和時髦娛樂項目，來全面深入地研究安全對抗問題，都是值得的。
“安全經絡”是《安全通論》的第一塊基石，文獻［1］已經打好了這塊基石。
“安全對抗”是《安全通論》的第二塊基石。“安全對抗”分為兩大類：盲對抗、非盲對抗。為了打好這第二塊基石，我們已經在文獻［2］中，統一研究了“盲對抗”，并給出了黑客（紅客）攻擊（防守）能力的精確極限。針對“非盲對抗”，雖然已經找到了統一的研究方法（信道容量法），但是，由于“非盲對抗”的模型千變萬化，我們只好“見招拆招”。比如，分別在文獻［3］和［4］中，以“石頭剪刀布游戲”、“猜正反面游戲”和“手心手背游戲”為對象，研究了“非盲對抗”的三個有趣實例，給出了輸贏極限和獲勝技巧。本文對酒桌上著名的兩個實例（劃拳、猜拳）進行分析，仍然采用統一的“信道容量方法”，給出了“贏酒杯數”和“罰酒杯數”的理論極限，還給出了醉鬼獲勝的調整技巧。當然，這些內容也是《安全通論》不可或缺的組成部分。此外，針對“非盲對抗”的很大一個子類（輸贏規則線性可分的情況），我們給出了統一的解決方案。
1“猜拳”贏酒
“猜拳”是宴會上主人和客人鬧酒的游戲形式之一。其游戲規則是：在每個回合中，主人和客人同時獨立亮出如下4種手勢之一：蟲子、公雞、老虎、棒子，然后，雙方共同根據如下“勝負判定規則”來決定該罰誰喝一杯酒：
“蟲子”被“公雞”吃掉；“公雞”被“老虎”吃掉；“老虎”被“棒子”打死；“棒子”被“蟲子”蛀斷。
除此之外，主客雙方如果平局，則互不罰酒。
一個回合結束后，主客雙方再進行下一回合的“猜拳”。
將此“猜拳游戲”用數學方式表示出來便是：設主人和客人分別用隨機變量X和Y來表示，它們的可能取值有4個：0，1，2，3。具體如下：
當主人（或客人）亮出“蟲子”時，記X=0（或Y=0）；
當主人（或客人）亮出“公雞”時，記X=1（或Y=1）；
當主人（或客人）亮出“老虎”時，記X=2（或Y=2）；
當主人（或客人）亮出“棒子”時，記X=3（或Y=3）。
如果某回合中，主人亮出的是x（即X=x，0≤x≤3），而客人亮出的是y（即Y=y，0≤y≤3），那么，本回合主人贏（即罰客人一杯酒）的充分必要條件是：(x-y)mod4=1；客人贏（即罰主人一杯酒）的充分必要條件是：(y-x)mod4=1；否則，本回合為“平局”，即主客雙方互不罰酒，接著進行下一回合的“斗酒”。
這個“猜拳”游戲顯然是一種“非盲對抗”。主人和客人到底誰輸誰贏？最多會被罰多少杯酒？他們怎樣才能讓對方多喝，而自己少喝？下面就用《安全通論》的“信道容量法”來回答這些問題。
由概率論中的大數定律，頻率趨于概率，所以，根據“主人（X）”和“客人（Y）”的習慣，即過去他們“斗酒”的統計規律（如果他們是初次見面，那么不妨讓他們以“熱身賽”方式先“斗酒”一陣子，然后記下他們的習慣），就可以分別給出X和Y的概率分布，以及（X，Y）的聯合概率分布：
0<Pr(X=i)=pi<1，i=0,1,2,3；p0+p1+p2+p3=1；
0<Pr(Y=i)=qi<1，i=0,1,2,3；q0+q1+q2+q3=1；
0<Pr(X=i,Y=j)=tij<1，i, j=0,1,2,3；∑0≤i,j≤3tij=1；
px=∑0≤y≤3txy，x=0,1,2,3；
qy=∑0≤x≤3txy，y=0,1,2,3。
為了分析“主人”贏酒情況，我們構造一個隨機變量Z=(Y+1)mod4。然后，再用隨機變量X和Z構成一個信道（X；Z），稱它為“猜拳主人信道”，即該信道以X為輸入、Z為輸出。
下面來分析幾個事件等式。如果某回合中，主人亮出的是x（即X=x，0≤x≤3），而客人亮出的是y（即Y=y，0≤y≤3），那么：
如果本回合“主人”贏，則有(x-y)mod4=1，即，y=(x-1)mod4，于是，z=(y+1)mod4=［(x-1)+1］mod4=xmod4=x，換句話說，此時，“猜拳主人信道”的輸出Z始終等于輸入X，也就是說，一個“比特”被成功地從輸入端X發送到了輸出端Z。
反過來，如果在“猜拳主人信道”中，一個“比特”被成功地從輸入端X發送到了輸出端Z,那么，此時就有“輸出z始終等于輸入x，即z=x”，也就有(x-y)mod4=(z-y)mod4=［(y+1)-y］mod4=1mod4=1，于是，根據“猜拳”規則，就該判“主人贏”，即客人罰酒一杯！
結合上述正反兩種情況有：
引理1：在“猜拳”游戲中，“主人贏一次”就等價于“1個“比特”被成功地從“猜拳主人信道”（X；Z）的輸入端發送到了輸出端”。
由引理1，再結合仙農信息論的著名“信道編碼定理”［56］：如果“猜拳主人信道”的容量為C，那么，對于任意傳輸率k/n≤C，都可以在譯碼錯誤概率任意小的情況下，通過某個n比特長的碼字，成功地把k個比特傳輸到收信端。反過來，如果“猜拳主人信道”能夠用n長碼字，把S個比特無誤差地傳輸到收信端，那么，一定有S≤nC。把這段話翻譯一下，便有如下定理：
定理1（猜拳主人贏酒定理）：設由隨機變量（X；Z）組成的“猜拳主人信道”的信道容量為C，那么，在剔除掉“平局”的情況后有：(1）如果主人想罰客人k杯酒，那么，他一定有某種技巧（對應于仙農編碼），使得他能夠在k/C個回合中，以任意接近1的概率達到目的。反過來，(2）如果主人在n回合中，贏了S次，即，罰了客人S杯酒，那么，一定有S≤nC。
由該“猜拳主人贏酒定理”可知，只要求出“猜拳主人信道”的信道容量C，那么，主人“贏酒”的“杯數”極限就確定了。下面就來求信道容量C。
首先，（X，Z）的聯合概率分布為：
Pr(X=i,Z=j)=Pr(X=i,(Y+1)mod4=j)=Pr(X=i,Y=(j-1)mod4)=ti(j-1)mod4，i,j=0,1,2,3,4
所以，“猜拳主人信道”（X；Z）的信道容量就是：
C=Max［I(X,Z)］=Max{∑0≤i,j≤3［ti(j-1)mod4］
log［ti(j-1)mod4］/(piqj)}
這里的最大值Max是針對滿足如下條件的實數而取的：0<pi，tij<1, i,j=0,1,2,3;p0+p1+p2+p3=1；∑0≤i,j≤3tij=1；px=∑0≤y≤3txy。所以，這個C實際上是滿足條件q0+q1+q2+q3=1和0<qi<1,i=0,1,2,3的正實數變量的函數，即，可以記為C(q0,q1,q2,q3)，其中，q0+q1+q2+q3=1。
同理，可以分析“客人贏酒”的情況，此處不再贅述。
可見，“主人”贏酒的多少（C(q0,q1,q2,q3)），其實取決于“客人”的習慣（q0,q1,q2,q3）。如果主客雙方都固守他們的習慣，那么，他們的輸贏已經“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方見機行事（即調整自己的習慣），那么，當他調整到其信道容量大過對方時，他就能夠整體上贏；如果“主人”和“客人”雙方都在調整自己的習慣，那么，他們最終將達到動態平衡。
2“劃拳”贏酒
“劃拳”比“猜拳”更復雜，是宴會上主人和客人鬧酒的另一種游戲形式。
該游戲規則是：在每個回合中，主人（A）和客人（B）各自同時獨立地在手上亮出0~5這6種手勢之一，并在嘴上吼出0~10這11個數之一。也就是說，每個回合中，“主人A”是一個2維隨機變量，即A=（X，Y），其中，0≤X≤5是“主人”手上顯示的數，而0≤Y≤10是“主人”嘴上吼出的數。同樣，“客人B”也是一個2維隨機變量，即B=（F，G），其中，0≤F≤5是“客人”手上顯示的數，而0≤G≤10是“客人”嘴上吼出的數。
如果在某個回合中，“主人”和“客人”的2維數分別是（x,y）和（f,g），那么，“劃拳”游戲的罰酒規則是：
如果，x+f=y，那么，“主人”贏，罰“客人”喝一杯酒；如果，x+f=g，那么，“客人”贏，罰“主人”喝一杯酒；如果上述兩種情況都不出現，則為“平局”，主客雙方互不罰酒，接著進行下一回合。具體來說：雙方嘴上吼的數一樣(即g=y)時，“平局”出現；雙方雖然吼的數各不相同，但是，他們“手上顯示的數之和”不等于“任何一方嘴上吼的數”時，“平局”也出現。
這個“劃拳”游戲顯然也是一種“非盲對抗”。下面就用《安全通論》的“信道容量法”來研究游戲雙方的輸贏問題。
與前文“猜拳”游戲類似，由概率論中的大數定律，頻率趨于概率，根據“主人（A）”和“客人（B）”的習慣，即過去他們“斗酒”的統計規律，就可以分別給出A和B及其分量X、Y、F、G的概率分布，以及4個隨機變量（X，Y，F，G）的聯合概率分布：
“主人”手上顯示x的概率：0<Pr(X=x)=px<1，0≤x≤5；x0+x1+x2+x3+x4+x5=1；
“客人”手上顯示f的概率：0<Pr(F=f)=qf<1，0≤f≤5；f0+f1+f2+f3+f4+f5=1；
“主人”嘴上吼y的概率：0<Pr(Y=y)=ry<1，0≤y≤10；∑0≤y≤10ry =1；
“客人”嘴上吼g的概率：0<Pr(G=g)=sg<1，0≤g≤10；∑0≤g≤10sg =1；
“主人”手上顯示x，嘴上吼y的概率：
0<Pr［A=(x,y)］=Pr(X=x,Y=y)=bxy<1，0≤y≤10，0≤x≤5，∑0≤y≤10,0≤x≤5bxy =1；
“客人”手上顯示f，嘴上吼g的概率：
0<Pr［B=(f,g)］=Pr(F=f,G=g)=hfg<1，0≤g≤10，0≤f≤5，∑0≤g≤10,0≤f≤5hfg =1；
“主人手上顯示x，嘴上吼y；同時，客人手上顯示f，嘴上吼g”的概率：
0<Pr［A=(x,y),B=(f,g)］=Pr(X=x,Y=y,F=f,G=g)=txyfg<1，這里，0≤y,g≤10，0≤x,f≤5，∑0≤y,g≤10,0≤x,f≤5txyfg =1。
為了分析“主人”贏酒情況，構造一個2維隨機變量：Z=(U,V)=(Xδ(G-Y)，X+F)，這里的δ函數定義為：δ(0)=0；δ（x）=1，如果x≠0。于是：
Pr［Z=(u,v)］=∑x+f=v,xδ(g-y)=utxyfg=:duv，這里，0≤v≤10，0≤u≤5。
然后，再用隨機變量A和Z構成一個信道（A；Z），稱它為“劃拳主人信道”，即，該信道以A為輸入，以Z為輸出。
下面來分析幾個事件等式。如果某回合中，主人手上亮出的是x（即X=x，0≤x≤5），主人嘴上吼的是y（即Y=y，0≤y≤10）；而客人手上亮出的是f（即F=f，0≤f≤5），客人嘴上吼的是g（即G=g，0≤g≤10）。那么，根據“劃拳”的評判規則有：
如果本回合“主人”贏，那么，x+f=y，同時y≠g。于是，δ(g-y)=1，進一步就有：Z=(u,v)=(xδ(g-y)，x+f)=(x,y)=A，換句話說，此時，“劃拳主人信道”的輸出Z始終等于輸入A，也就是說：一個“比特”被成功地從輸入端A發送到了輸出端Z。
反過來，如果在“劃拳主人信道”中，一個“比特”被成功地從輸入端A發送到了輸出端Z，那么，此時就有“輸出z=(u,v)=(xδ(g-y)，x+f)始終等于輸入（x,y）”，也就有：xδ(g-y)=x同時x+f=y，即，y≠g且x+f=y，于是，根據“劃拳”規則，就該判“主人贏”，即，客人罰酒一杯！
結合上述正反兩種情況，便有：
引理2：在“劃拳”游戲中，“主人贏一次”就等價于“1個“比特”被成功地從“劃拳主人信道”（A；Z）的輸入端，發送到了輸出端”。
由引理2，再結合仙農信息論的著名“信道編碼定理”［56］：如果“劃拳主人信道”的容量為D，那么，對于任意傳輸率k/n≤D，都可以在譯碼錯誤概率任意小的情況下，通過某個n比特長的碼字，成功地把k個比特傳輸到收信端。反過來，如果“劃拳主人信道”能夠用n長碼字，把S個比特無誤差地傳輸到收信端，那么，一定有S≤nD。把這段話翻譯一下，便有如下定理：
定理2（劃拳主人贏酒定理）：設由隨機變量（A；Z）組成的“劃拳主人信道”的信道容量為D。那么，在剔除掉“平局”的情況后有：（1）如果主人想罰客人k杯酒，那么，他一定有某種技巧（對應于仙農編碼），使得他能夠在k/D個回合中，以任意接近1的概率達到目的。反過來，（2）如果主人在n回合中贏了S次，即，罰了客人S杯酒，那么，一定有S≤nD。
由該“劃拳主人贏酒定理”可知，只要求出“劃拳主人信道”的信道容量D，那么，主人“贏酒”的“杯數”極限就確定了。下面就來求信道容量D：
D=Max［I(A,Z)］
=Max{∑a,zPr(a,z)log［Pr(a,z)/［Pr(a)Pr(z)］］}
=Max{∑x,y,f,gPr(x,y,xδ(g-y),x+f)log［Pr(x,y,xδ(g-y),x+f)/［Pr(x,y)Pr(xδ(g-y),x+f)］］}
=Max{∑x,y,f,gtx,y,xδ(g-y),x+flog［tx,y,xδ(g-y),x+f/
［bxydxδ(g-y),x+f］］}
這里的最大值是針對滿足如下條件的正實數而取的：
0≤y≤10；∑0≤y≤10ry=1；
0≤y≤10，0≤x≤5，∑0≤y≤10,0≤x≤5bxy =1；
0≤g≤10，0≤f≤5，∑0≤g≤10,0≤f≤5hfg =1。
所以，“劃拳主人信道”的容量D其實是滿足條件0≤f≤5；f0+f1+f2+f3+f4+f5=1；0≤g≤10；∑0≤g≤10sg =1的fi，gj的函數，0≤i≤5,0≤j≤10。
同理，可以分析“客人贏酒”的情況，此處不再贅述。
可見，“劃拳主人”贏酒的多少（D（gj,fi）），其實取決于“客人”的習慣（gj,fi）。如果主客雙方都固守他們的習慣，那么，他們的輸贏已經“天定”了；如果“主人”或“客人”中有一方見機行事（即，調整自己的習慣），那么，當他調整到其信道容量大過對方時，他就能夠整體上贏；如果“主人”和“客人”雙方都在調整自己的習慣，那么，他們最終將達到動態平衡。
3線性可分“非盲對抗”的抽象模型
設黑客（X）共有n招來發動攻擊，即隨機變量X的取值共有n個，不妨記為{x0,x1,…xn-1}={0,1,2,…,n-1}，這也是黑客的全部“武器庫”。
設紅客（Y）共有m招來抵抗攻擊，即隨機變量Y的取值共有m個，不妨記為{y0,y1,…ym-1}={0,1,2,…,m-1}，這也是紅客的全部“武器庫”。
注意：在下面推導中，將根據需要在“招xi，yj”和“數i,j”之間等價地變換，即：xi=i，yj=j，其目的在于，既把問題說清楚，又在形式上簡化。
在非盲對抗中，每個黑客武器xi(i=0,1,…,n-1)和每個紅客武器yj(j=0,1,…,m-1)之間，存在著一個紅黑雙方公認的輸贏規則，于是，一定存在2維數集{（i,j）,0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}的某個子集H，使得“xi勝yj”當且僅當(i,j)∈H。如果這個子集H的結構比較簡單，那么，我們就能夠構造某個信道，使得“黑客贏一次”等價于“1比特信息被成功地從該通信信道的發端傳輸到了收端”，然后，再利用著名的仙農信道編碼定理即可。比如：
在“石頭剪刀布”游戲中，H={(i,j):0≤i,j≤2，(j-i)mod3=2}；
在“猜正反面”游戲中，H={(i,j):0≤i=j≤1}；
在“手心手背”游戲中，H={(i,j,k):0≤i≠j=k≤1}；
在“猜拳”游戲中，H={(i,j):0≤i,j≤3，(i-j)mod4=1}；
在“劃拳”游戲中，H={(x,y,f,g):0≤x,f≤5；0≤g≠y≤10；x+f=y}。
在文獻［3,4］和本文中，已經針對以上各H構造出了相應的通信信道。但是，對一般的H，卻很難構造出這樣的通信信道，不過，有一種特殊情況還是可以有所作為的，即，如果上面的集合H可以分解為H={(i,j):i=f(j), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第一個分量j是其第二個分量的某種函數），那么，我們就可以構造一個隨機變量Z=f(Y)。然后，考慮信道（X；Z），于是便有如下事件等式：
如果在某個回合中，黑客出擊的招是xi，而紅客應對的招是yj，那么：
如果“黑客贏”，則有i=f(j)，也就是說，此時信道（X；Z）的輸出便是Z=f(yj)=f(j)=i=xi，即，此時信道的輸出與輸入相同，即1個比特被成功地從信道（X；Z）的輸入端發送到了輸出端。
反過來，如果“1個比特被成功地從信道（X；Z）的輸入端發送到了輸出端”，那么，此時就該有“輸入=輸出”，即“i=f(j)”，這也就意味著“黑客贏”。
結合上述正反兩個方面，得到如下定理：
定理3（線性非盲對抗極限定理）：在“非盲對抗”中，設黑客X共有n種攻擊法{x0,x1,…xn-1}={0,1,2,…,n-1}；設紅客Y共有m種防御法{y0,y1,…ym-1}={0,1,2,…,m-1}，又設紅黑雙方約定的輸贏規則是：“xi勝yj”當且僅當(i,j)∈H。這里H是矩形集合{（i,j）,0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}的某個子集。
如果H關于黑客X是線性的，即，H可以表示為H={(i,j):i=f(j), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第一個分量i是其第二個分量j的某種函數f(.)），那么，便可以構造一個信道（X；Z），其中Z=f(Y)，使得若C是信道（X；Z）的信道容量，則有：
（1）如果黑客想贏k次，那么，他一定有某種技巧（對應于仙農編碼），使得他能夠在k/C個回合中，以任意接近1的概率達到目的；
(2)如果黑客在n個回合中贏了S次，則一定有S≤nC。
如果H關于紅客Y是線性的，即，H可以表示為H={(i,j):j=g(i), 0≤i≤n-1, 0≤j≤m-1}（即，H中第二個分量j是其第一個分量i的某種函數g(·)），那么，便可以構造一個信道（Y；G），其中G=g(X)，使得若D是信道（Y；G）的信道容量，則有：
（1）如果紅客想贏k次，那么，他一定有某種技巧（對應于仙農編碼），使得他能夠在k/D個回合中，以任意接近1的概率達到目的;
（2）如果紅客在n個回合中贏了S次，則一定有S≤nD。
4結束語
“石頭剪刀布”、“手心手背”、“猜正反面”、“猜拳”和“劃拳”等游戲，其實它們的輸贏規則集H都是線性可分的，因此，它們全是本文定理3（線性非盲對抗極限定理）的特例而已。至于H為不可分情況，相應的信道構造就無從下手了，這個問題就作為公開問題，留待今后解決吧。
為了加深大家的印象，我們對“盲對抗”和“非盲對抗”再做一些形象的描述：
所謂“盲對抗”，就是在每個攻防回合后，攻防雙方都只知道自己的“自評結果”，而對敵方的“他評結果”一無所知。像大國斗智、戰場搏殺、網絡攻防、諜報戰等比較慘烈的對抗，通常都屬于“盲對抗”。這里的“盲”，與是否面對面無關，比如，“兩潑婦互相罵街”就是典型的面對面的“盲對抗”，因為，“攻方”是否罵到了“守方”的痛處，只有“守方”自己才知道，而且，被罵者通常還要極力掩蓋其痛處，不讓“攻方”知道自己的弱點在哪。當然，“一群潑婦互相亂罵”，更是盲對抗了。
所謂“非盲對抗”，就是在每個攻防回合后，雙方都知道本回合的一致的“勝敗結果”。比如，像古老的“石頭剪刀布”游戲中，一旦雙方的手勢亮出后，本回合的勝敗結果就一目了然。像許多賭博游戲、體育競技等項目都屬于“非盲對抗”。家喻戶曉的童趣游戲“猜正反面游戲”、“手心手背游戲”和本文中的“劃拳”和“劃拳”等，也都是“非盲對抗”，只不過，在“手心手背游戲”中彼此對抗的人，不再是兩個，而是三個。
更加形象地說，“潑婦罵架”是“盲對抗”，但是，“兩流氓打架”卻是“非盲對抗”了。因為，人的身體結構都相似，被打的痛處在哪，誰都知道，而且結論也基本一致，所以，“打架”是“非盲的”，當然，“打群架”也是“非盲對抗”。但是，人的心理結構卻千差萬別，被罵的痛點會完全不同，所以，“罵架”是“盲的”。
（致謝：本文中的“劃拳”和“猜拳”游戲，由北京CA總經理詹榜華博士提供，特此致謝。）
參考文獻
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