0 引言

    四旋翼飛行器是一種常見的特定配置的垂直起降微型飛行器，它具有體積小、靈活性高、機動性強和結構簡單操作方便等優點，具有廣闊的應用前景^[1]。它是四輸入六輸出的典型欠驅動、強耦合的非線性系統，理論研究表明，用非線性的控制器實現四旋翼飛行器具有良好的控制效果。由于物理機體和數學模型之間的差異，常用PID控制器作為飛行器的控制系統^[2]。然而在實際應用中，被控對象自身的非線性、延遲性和滯后性等原因，PID控制器參數的整定非常困難。參數設置的不理想不但會影響控制系統的穩定性，而且會無法完成預期效果，甚至引發工業事故，因此PID控制參數自整定對控制系統具有重要作用。

    按照發展階段，自整定分為常規自整定和智能自整定兩類，常規PID參數自整定按其工作機理分為兩種：基于規則的自整定方法和基于模式辨識的自整定方法^[3]。

    基于規則的自整定方法在參數整定及控制過程方面不需要特定經驗，還可以將過程特性和干擾特性區分開，但是需要技術人員對每一個回路和控制參數都有深入和全面的了解。對于控制系統，要求明確哪個控制參數需要調節，但是需要調節的控制參數不容易確定。

    基于模式辨識自整定的方法簡單、直觀、易實現，但是在實際工業生產過程中，因其非線性、動態性、系統的噪聲和結構的復雜性等特點，該方法并沒有取得預期的結果，而且該方法工作量比較大。

    隨著科技發展，智能參數自整定相繼出現。其中模糊推理整定^[4]不需要精確的數學模型，具有較強的魯棒性，但是它依賴于確定的PID參數，屬于一種局部尋優算法；遺傳算法降低了設計難度，具有良好的魯棒性和全局性，但其存在收斂性、局部搜索能力差等問題。本文是在智能PID控制的基礎上，提出結合共軛梯度算法對數字PID控制參數進行自整定，將控制性能指標的最小方差和控制率相結合，根據梯度算法迭代出被控系統不斷變化的參數，使PID控制器的效率得以提升，提高了系統的魯棒特性、可靠性和準確性。

1 四旋翼飛行器建模

    四旋翼飛行器是固定在一個十字交叉的結構上，由4個電機驅動螺旋槳的轉動，并且通過螺旋槳速度的改變來改變飛行器的姿態^[5]。其工作原理圖如圖1所示。

    四旋翼飛行器在全局坐標系下沿X、Y、Z軸的線位移運動方程為：

    根據力矩平衡原理，四旋翼飛行器在全局坐標系X、Y、Z方向的角位移方程為：

其中，l是四旋翼飛行器重心到螺旋槳的距離，k_i(i=4，5，6)是四旋翼飛行器在角位移運動是的空氣阻力系數，I是每個軸上的轉動慣量M是每個螺旋槳產生的扭動力矩^[6]。

    假定U_i(i=1，2，3，4)為四旋翼飛行器控制系統的輸入量，在實驗階段，四旋翼飛行器處于低速飛行的狀態，忽略空氣阻力^[7]，將式(1)和式(2)化簡得出系統的數學模型：

    四旋翼飛行器是用PID控制器作為控制系統，其控制系統模型如圖2所示。

    由圖2知四旋翼飛行器的飛行姿態是由PID控制器通過調節4個電機的轉速來實現，為了增強四旋翼飛行器飛行姿態的穩定性和可靠性，對PID控制器進行優化是必要的。為此提出了共軛梯度算法對PID控制參數的自整定，從而使控制系統輸出達到最優。

2 共軛梯度算法對PID參數的整定

    在四旋翼飛行器數學模型的基礎上，根據PID控制系統的輸出u(k)和整個系統的輸出y(k)組成數據序列，在設計過程中引入參數γ，通過對γ不斷進行迭代估計，得出k時刻的參數估計值利用最小方差控制率計算出并以此改善調節器的參數，調節器在新參數條件下對過程進行控制。通過不斷對參數的迭代估計，直到其收斂到真值，即調節器對過程的控制達到最小方差控制時，參數就能夠使控制過程達到最優。

    根據位置式PID控制器^[8]得到：

    由式(4)遞推出增量式PID控制^[9]的公式：

    然后引入共軛梯度算法，設目標函數為：

其中，y₀為理想值，y(k-j)為(k-j)時刻的輸出值，γ是含控制參數k_p、T_i、T_d的向量。

    在優化值附近可將式(6)簡化為：

    利用梯度算法求解γ的最優估計，則迭代公式為：

    不同的PID控制器對應著不同的γ，因此設定系統的輸出為：

3 仿真分析

    將共軛梯度算法對PID參數的自整定和四旋翼飛行器的數學模型相結合，在以NI-myrio為控制核心的四旋翼飛行器上利用LabVIEW編程進行仿真，通過MPU6050采集四旋翼飛行器俯仰角、橫滾角、偏航角的數據，利用普通PID控制采集的數據與其對比。以橫滾角偏移13°的時刻恢復到平穩狀態和在平穩狀態的穩定性為例，采集兩種算法在相同條件、不同時刻下的波形圖驗證該算法的有效性，其波形如圖3所示。圖3中：曲線1表示四旋翼飛行器橫滾角在共軛梯度算法下PID控制的仿真曲線；曲線2表示四旋翼飛行器橫滾角在普通PID控制下的仿真曲線。

    圖中分別采集了共軛梯度算法的PID控制和普通PID控制的四旋翼飛行器橫滾角在0～224 ms、21～245 ms、30～257 ms時刻的仿真結果。由圖3(a)得到，四旋翼飛行器橫滾角從13°恢復到平穩狀態，普通PID控制所需時間約為47.2 ms，共軛梯度算法的PID控制所需時間為23.6 ms，通過對比，共軛梯度算法的PID控制對四旋翼飛行器的橫滾角恢復到平穩狀態所需時間時間較短，且提高的效率為：

    由圖3(b)、圖3(c)可知，普通PID控制的飛行器恢復到平穩狀態后依然有較大抖動，其穩定性較差，而共軛梯度算法的PID控制在四旋翼飛行器橫滾角恢復到平穩狀態后比較穩定，其魯棒性增強，誤差較小。

    通過圖3(c)看出，普通PID控制的飛行器平穩狀態存在0.5°的偏差，而共軛梯度算法的PID控制實現了飛行器無偏移的平穩狀態，提高了系統的準確性和可靠性。

    該算法已成功應用在四旋翼飛行器，在實際飛行中已達到良好的控制飛行效果，其仿真飛行如圖4所示。

4 結論

    本文采用共軛梯度算法對數字PID控制的參數進行自整定，將控制性能指標的最小方差和控制率相結合，根據梯度算法迭代計算出被控系統特性不斷變化的控制參數，在NI-myrio為核心控制的四旋翼飛行器上通過LabVIEW實現了仿真。經實驗證明，從飛行的某一狀態恢復到穩定的時間明顯縮短，速率明顯提高，穩定性較好，波動較小，取得了較為理想的效果。該方法只是完成了PID自整定的基本整定功能，還有許多功能，如增加對多點的自整定功能、考慮實際應用環境的多樣性等需進一步做實驗驗證。

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作者信息:

李  航，王耀力

(太原理工大學 信息工程學院，山西 太原030024)