噪聲的重要特性之一就是其頻譜密度。電壓噪聲頻譜密度是指每平方根赫茲的有效(RMS) 噪聲電壓（通常單位為nV/rt-Hz）。功率譜密度" title="功率譜密度">功率譜密度的單位為W/Hz。在上一篇文章中，我們了解到電阻的熱噪聲" title="熱噪聲">熱噪聲可用方程式 2.1 計算得出。該算式經過修改也可適用于頻譜密度。熱噪聲的重要特性之一就在于頻譜密度圖較平坦（也就是說所有頻率的能量相同）。因此，熱噪聲有時也稱作寬帶噪聲" title="寬帶噪聲">寬帶噪聲。運算放大器也存在寬帶噪聲。寬帶噪聲即為頻譜密度圖較平坦的噪聲。?
方程式 2.1：頻譜密度——經修改后的熱噪聲方程式?
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圖 2.1：運算放大器噪聲頻譜密度?
除了寬帶噪聲之外，運算放大器常還有低頻噪聲區，該區的頻譜密度圖并不平坦。這種噪聲稱作 1/f 噪聲，或閃爍噪聲，或低頻噪聲。通常說來，1/f 噪聲的功率譜以 1/f 的速率下降。這就是說，電壓譜會以 1/f(1/2 ) 的速率下降。不過實際上，1/f 函數的指數會略有偏差。圖 2.1 顯示了典型運算放大器在 1/f 區及寬帶區的頻譜情況。請注意，頻譜密度圖還顯示了電流噪聲情況（單位為 fA/rt-Hz）。?
我們還應注意到另一點重要的情況，即 1/f 噪聲還能用正態分布曲線表示，因此第一部分中介紹的數學原理仍然適用。圖 2.2 顯示了1/f 噪聲的時域情況。請注意，本圖的 X 軸單位為秒，隨時間發生較慢變化是1/f 噪聲的典型特征。?
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圖 2.2：時域所對應的 1/f 噪聲及統計學分析結果?
圖 2.3 描述了運算放大器噪聲的標準模型，其包括兩個不相關的電流噪聲源" title="噪聲源">噪聲源與一個電壓噪聲源，連接于運算放大器的輸入端。我們可將電壓噪聲源視為隨時間變化的輸入偏移電壓分量，而電流噪聲源則可視為隨時間變化的偏置電流分量。?
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圖 2.3：運算放大器的噪聲模型?
運算放大器噪聲分析方法?
運算放大器噪聲分析方法是根據運放數據表上的數據計算出運放電路峰峰值輸出噪聲。在介紹有關方法的時候，我們所用的算式適用于最簡單的運算放大器電路。就更復雜的電路而言，這些算式也有助于我們大致了解可預見的噪聲輸出情況。我們也可針對這些更復雜的電路提供較準確的計算公式，但其中涉及的數學計算將更為復雜。對更復雜的電路而言，或許我們最好應采用三步走的辦法。首先，用算式進行粗略的估算；然后，采用 spice 仿真程序進行更準確的估算；最后通過測量來確認結果。?
我們將以 TI OPA277 的簡單非反向放大器為例來說明有關電路的情況（見圖 2.4）。我們的目標是測定峰峰值輸出噪聲。為了實現這一目的，我們應考慮運算放大器的電流噪聲、電壓噪聲以及電阻熱噪聲。我們將根據產品說明書中的頻譜密度曲線來確定上述噪聲源的大小。此外，我們還要考慮電路增益與帶寬問題。?
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??????????????????? 圖 2.4：噪聲分析電路示例?
首先，我們應了解如何將噪聲頻譜密度曲線轉換為噪聲源。為了實現這一目的，我們需進行微積分運算。簡單提醒一句，積分函數確定曲線下方的面積。圖 2.5 顯示，我們只須將長寬相乘（即矩形區域面積），便能獲得常數函數的積分。這種轉換頻譜密度曲線為噪聲源的關系比較簡單。
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????????????????????????????????????????? 圖 2.5：通過積分計算曲線下方面積?
人們通常會說，只有將電壓頻譜密度曲線進行積分計算，才能得到總噪聲值。事實上，我們必須對功率譜密度曲線進行積分計算。該曲線實際反映的是電壓或電流頻譜密度的平方（請記住：P = V2/R 且 P=I2R）。圖 2.6 顯示了對電壓頻譜密度曲線進行積分計算所得的奇怪結果。圖 2.7 顯示，您可將功率譜密度進行積分計算，再通過求結果的平方根將其轉換回電壓。請注意，我們由此可獲得合理結果。?
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?????????????????????????????????????? 圖 2.6：計算噪聲的不正確方法?
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?????????????????????????????????????????????????????? 圖 2.7：計算噪聲的正確方法?
通過對電壓與電流頻譜的功率譜密度曲線進行積分計算，我們可得到運算放大器模型信號源的 RMS 幅度（圖 2.3）。不過，頻譜密度曲線將分布在 1/f 區與帶低通濾波器" title="低通濾波器">低通濾波器的寬帶區（見圖 2.8）。如計算上述兩個區域的總噪聲，我們要采用微積分計算推導出的算式。再根據第一部分所討論的處理非相關信號源的方法，對上述兩個計算的結果做和的平方根 (RSS) 運算，對應第一部分中提到的非相關信號源。?
首先，我們要對帶低通濾波器的寬帶區域進行積分計算。理想情況下，曲線的低通濾波器部分是一條縱向直線，我們稱之為磚墻式濾波器 (brick wall filter)。由于磚墻式濾波器情況下的曲線下方區域為矩形，因此這一區域的問題比較好解決，長乘寬即可。在實際情況下，我們不能實現磚墻式濾波器。不過，我們可用一組常量來將實際情況下的濾波器帶寬轉換為等效的磚墻式濾波器帶寬，以滿足噪聲計算的需要。圖 2.9 將理論磚墻式濾波器與一階、二階及三階濾波器進行了對比。?
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?????????????????????????????? 圖 2.8：帶濾波器的寬帶區?
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圖 2.9：磚墻式濾波器與實際濾波器相比較?
我們可用方程式 2.2 用于轉換實際濾波器或做磚墻式濾波器等效。表 2.1 列出了各階濾波器的換算系數 (Kn)。舉例來說，一階濾波器帶寬乘以 1.57 即為磚墻式濾波器帶寬。調節后的帶寬有時也稱作噪聲帶寬。請注意，換算系數隨著濾波器階數的提升將越來越接近于1。換言之，濾波器階數越高，就越接近于磚墻式濾波器。?
方程式 2.2：寬帶區域上簡單濾波器的噪聲帶寬?
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濾波器階數 |
換算系數(Kn) |
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1? |
1.57? |
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2? |
1.22? |
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3? |
1.16? |
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4? |
1.13? |
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5? |
1.12? |
表 2.1：磚墻式濾波器校正系數?
既然我們有了將實際濾波器轉換為磚墻式濾波器的算式，那么我們就能很方便地進行功率頻譜的積分運算了。請記住，功率的積分運算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結果進行平方根運算轉換回電壓。方程式 2.3 即由此得出（見附錄 2.1）。因此，根據產品說明書中的數據套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計算出寬帶噪聲。?
方程式 2.3：寬帶噪聲方程式?
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我們需記住，我們的目標是測定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計算出寬帶噪聲。現在我們應計算 1/f 噪聲，這就需求對噪聲頻率密度圖 1/f 區域的功率頻譜進行積分計算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關積分結果。方程式 2.4 將 1/f 區的噪聲測量結果歸一化為 1Hz 時的噪聲。某些情況下，我們可從圖中直接讀出該數值，有時用方程式更方便求得（見圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來計算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個演算過程。
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?????????????????????????????? 圖 2.10：1/f 區域?
方程式 2.4：頻率為 1Hz 時的噪聲 （歸一化）?
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???????????????????????????????????????????? 圖 2.11：兩個 1/f 歸一化示例?
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方程式 2.5：1/f 噪聲計算?
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在考慮 1/f 噪聲時，我們必須選擇低頻截止點。這是因為 1/f 函數分母為零時無意義（即 1/0 無意義）。事實上，理論上 0 赫茲時噪聲趨近于無窮。但我們應當考慮到，頻率極低時，其相應的時間也非常長。舉例來說，0.1Hz 對應于 10 秒，而 0.001Hz則對應于 1000 秒。對極低的頻率而言，對應的時間有可能為數年（如 10nHz 對應于 3 年）。頻率間隔越大，積分計算所得的噪聲就越大。不過我們也要記住，極低頻噪聲檢測需要很長時間。我們在以后的文章中將更詳細地探討此問題。目前，我們暫且記住這一點，1/f 計算時通常用 0.1Hz 作為低頻截止點。?
既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現在就用第一部分給出的無相關噪聲源算式來疊加噪聲源 （見如下方程式 2.6 與本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。?
方程式 2.6： 1/f 與寬帶噪聲疊加結果?
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工程師考慮分析方法時通常會擔心，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應在兩個不同的區域進行積分計算。換言之，他們認為，由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會超出 1/f 區域，從而出現錯誤。實際上，1/f 區域與寬帶區域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當噪聲頻譜顯示在對數圖上，1/f 區在降至寬帶曲線以下后影響極小。兩條曲線結合明顯的唯一區域就在 1/f 半功率頻點處。在此區域中，我們看到兩區域結合部的情況與數學模型相同。圖 2.12 顯示了兩區實際重疊的情況，并給出了相應的幅度。?
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?????????????????? 圖 2.12：1/f 噪聲區與寬帶區重疊?
現在，我們已得到了將噪聲頻譜密度曲線轉換為噪聲源所需的全部方程式。請注意，現在我們已推算出了電壓噪聲所需的方程式，不過相同的方法也可運用于電流噪聲的計算。在本系列隨后的文章中，我們將討論用有關方程式來解決運算放大器電流的噪聲分析問題。?
本文總結與下一篇文章簡介?
在噪聲系列文章中，本文介紹了運算放大器的噪聲模型與噪聲頻譜密度曲線。此外，我們還介紹了基本的噪聲計算方程式。本系列的第三部分將用實例說明實際電路中的噪聲計算過程。?
致謝！?
特別感謝以下人員提供的技術意見?
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?TIBurr-Brown 產品部：?
Rod Bert，高級模擬 IC 設計經理?
Bruce Trump，線性產品經理
Tim Green，應用工程設計經理
Neil Albaugh，高級應用工程師
參考書目
Robert V. Hogg 與 Elliot A Tanis 共同編著的《概率與統計推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co.)出版；?
C. D. Motchenbacher 與 J. A. Connelly 共同編著的《低噪聲電子系統設計》，Wiley-Interscience Publication 出版。?
關于作者：
Arthur Kay是 TI 的高級應用工程師。他專門負責傳感器信號調節器件的支持工作。他于 1993 年畢業于佐治亞理工學院 (Georgia Institute of Technology)并獲得電子工程碩士學位。他曾在 Burr-Brown與 Northrop Grumman 公司擔任過半導體測試工程師。?
附錄 2.1：?
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附錄 2.2：?
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一階濾波器“磚墻”校正系數的演算過程。?
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