摘  要： 構(gòu)造出了一個新的只含有一個非線性項的四維非線性動力學(xué)系統(tǒng)，研究了該系統(tǒng)的超混沌吸引子、Lyapunov指數(shù)、龐加萊映射圖等復(fù)雜動力學(xué)特征，然后以Multisim電路仿真軟件為平臺進(jìn)行了仿真實驗，驗證了超混沌系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。
關(guān)鍵詞： 一個非線性項；混沌；四維超混沌系統(tǒng)；電路仿真

    混沌是指確定的宏觀的非線性系統(tǒng)在一定條件下所呈現(xiàn)的不確定的或不可預(yù)測的隨機(jī)現(xiàn)象，是非線性動力系統(tǒng)所特有的一種復(fù)雜動力系統(tǒng)，混沌理論是20世紀(jì)繼相對論和量子力學(xué)之后的第三次科學(xué)革命。自20世紀(jì)60年代Lorenz在一個三維自治系統(tǒng)首次發(fā)現(xiàn)混沌吸引子[1]以來，混沌的研究者越來越多，使得混沌理論得到了迅速發(fā)展。特別是20世紀(jì)90年代計算機(jī)科學(xué)的運(yùn)用和發(fā)展以來，人們對混沌的認(rèn)識逐漸加深，其中代表性的有1999年陳關(guān)榮等發(fā)現(xiàn)的混沌吸引子Chen系統(tǒng)[2]，2002年呂金虎等[3]進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)的Lü系統(tǒng)以及2004年劉崇新等[4]提出的三維自治系統(tǒng)。
    近年來，研究者構(gòu)造了許多超混沌系統(tǒng)[5-7]，但對只含有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)的研究不多，對這種超混沌系統(tǒng)的控制的研究更少。本文首先構(gòu)造了一個只有一個非線性項的四維超混沌系統(tǒng)，對其進(jìn)行了復(fù)雜的動力學(xué)分析，同時，給出了此超混沌系統(tǒng)的電路實現(xiàn)原理圖，用Multisim電路仿真軟件進(jìn)行了仿真實驗，證實了混沌系統(tǒng)的存在性。
1 新超混沌系統(tǒng)的分析
1.1 超混沌系統(tǒng)數(shù)據(jù)模型
    混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的復(fù)雜動力系統(tǒng)，而含有非線性項是非線性動力系統(tǒng)的必要條件，故非線性項對能否出現(xiàn)混沌起著至關(guān)重要的作用。構(gòu)造出的只含有一個非線性項的新四維動力系統(tǒng)方程式為：
   
其中a=0.58，其他所有狀態(tài)變量均為實數(shù)?？梢娤到y(tǒng)(1)只有一個非線性項，通過Matlab仿真得到其三維相圖及各平面相圖如圖1～圖4所示。

    觀察圖1～圖4的相軌跡圖可以推測系統(tǒng)(1)可能具有混沌的動力學(xué)特征。
1.2 系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)
    Lyapunov指數(shù)是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴(kuò)張的量，混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)很難區(qū)分,可以通過系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)來區(qū)分。由參考文獻(xiàn)[7]可知，對于一個四維自治的系統(tǒng),在它的4個Lyapunov指數(shù)中，當(dāng)最大Lyapunov指數(shù)為零，其他Lyapunov指數(shù)為負(fù)時，系統(tǒng)是周期的；當(dāng)2個最大的Lyapunov指數(shù)都為零，其他Lyapunov指數(shù)為負(fù)時,系統(tǒng)是偽周期的；當(dāng)最大的Lyapunov指數(shù)為正，其他3個Lyapunov指數(shù)中有1個為零，其余為負(fù)時，系統(tǒng)是混沌的；當(dāng)有2個最大的Lyapunov指數(shù)為正，其他2個Lyapunov指數(shù)中有1個為零，有1個為負(fù)時，系統(tǒng)是超混沌的。運(yùn)用Matlab計算出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)，當(dāng)t→∞時，系統(tǒng)(1)的4個Lyapunov指數(shù)為：λL1=0.101 4，λL2=0.014 0，λL3=0，λL4=-0.646 2。由此可知系統(tǒng)(1)是一個超混沌動力系統(tǒng)。
1.3 超混沌系統(tǒng)Poincare映射圖
    Poincare映射是一種經(jīng)典的分析動力系統(tǒng)的技術(shù)，可以通過Poincare截面上截點(diǎn)的情況判斷是否發(fā)生混沌：當(dāng)Poincare截面上有且僅有一個不動點(diǎn)或少數(shù)離散點(diǎn)時，運(yùn)動是周期的；當(dāng)Poincare截面上是一封閉曲線時，運(yùn)動是準(zhǔn)周期的；當(dāng)Poincare截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)時，運(yùn)動是混沌的。系統(tǒng)（1）在z=0截面的Poincare映射圖如圖5所示。

    從圖5中可以觀察到截面上是一些成片的具有分形結(jié)構(gòu)的密集點(diǎn)，可以明確知道系統(tǒng)是混沌的，從而也驗證了1.2中的判斷。
2 系統(tǒng)混沌模型電路仿真
    對超混沌系統(tǒng)(1)的電路進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo)，得到超混沌的電路數(shù)學(xué)模型為：
       

    該超混沌系統(tǒng)的實現(xiàn)電路如圖6所示。

    分別在輸出端口處接入示波器，得到系統(tǒng)對應(yīng)圖2～圖4各相面的仿真相圖，如圖7(a)～圖7(c)所示。
    通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，圖7(a)～圖7(c)與圖2～圖4各相面的Matlab仿真圖一致。

    本文構(gòu)造了一個四維只含一個非線性項的動力系統(tǒng)，對該系統(tǒng)的相軌跡圖、Poincare映射圖、Lyapunov指數(shù)等復(fù)雜動力學(xué)特征進(jìn)行分析和電路仿真實驗驗證，證實了只含一個非線性項超混沌系統(tǒng)的存在性。
參考文獻(xiàn)
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[4] LIU C X，LIU L，LIU T，et al.A new butterfly-shaped attractor of Lorenz-like system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2006，28(5)：1196-1203.
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[6] 賈紅艷，陳增強(qiáng)，袁著祉.一個大范圍超混沌系統(tǒng)的生成和電路實現(xiàn)[J].物理學(xué)報，2009，58(7)：4469-4476.
[7] 周平，危麗佳，程雪峰.只有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)[J].物理學(xué)報，2009，58(8)：5201-5208.